Capitalización simple y capitalización compuesta (Modulo 1, tema 2)

Capitalización simple y capitalización compuesta, calculo de capital final o montante en función de un tipo de interés en un espacio de tiempo determinado

EJERCICIOS CAPITALIZACIÓN SIMPLE

EJERCICIOS CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Como antes decíamos el régimen de capitalización simple se caracteriza porque los intereses, a medida que se generan, no se acumlan, es decir no son productivos.
Esto es, que si un producto financiero me generará un 1% anual en los próximos 3 años, al final de cada año me generará exactamente el mismo beneficio, un 1% de la cantidad acordada.

Normalmente este régimen se usa para operaciones a corto plazo.

El objetivo es pasar de un capital presente (C0) a un capital futuro (Cn) que sea equivalente, aplicando una ley financiera.

La fórmula general de capitalización simple es

I = C0 · i · n

i= tipo de interés en años

n= número de períodos, en años.

CAPITAL FINAL DE LA OPERACIÓN (Cn):

Es el resultado de añadir al capital inicial los intereses en un periodo determinado. Se aplicará cuando el tipo de interés es igual en todos los periodos. Con la siguiente ley financiera, podemos conocer cualquier dato, despejándolo.

Cn = C0 · (1 + i + n)

Es muy importante que (n) y (i) estén en la misma unidad de tiempo, al ser posible siempre en años.

Si nos dicen que el periodo son 8 meses, haremos una regla de tres.

12 meses => 1 año

8 meses => X años

8/12 = 0.67 años

Si nos dicen que el tipo de interés son 0.5% mensual, haremos una regla de tres.

1 mes => 0.5%

12 meses => X %

12· 0.005 = 0.6 %/anual => 6%

Si nos dan un tipo de interés variable en capitalización simple

Cn= C0 ·( 1 +i1+ i2 + i3 +..+in)

CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS (i):

Tan sólo hay que despejar de la fórmula.

Cn = C0 · (1 + i + n)

i = [(Cn/c0)-1]/n

CÁLCULO DEL LA DURACIÓN (N):

Tan sólo hay que despejar de la fórmula.

Cn = C0 · (1 + i + n)

i = [(Cn/c0)-1]/n

TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE:

Son tipos o tantos equivalentes, cuando al ser aplicados al mismo capital inicial y durante un mismo periodo de tiempo, generan el mismo montante o capital final.

Es decir es totalmente equivalente expresar una rentabilidad mensual, en un periodo de tiempo en meses, que hacerlo proporcionalmente en renabilidad anual y periodo proporcional al año.

¿Qué interés producirán €6,000 invertidos 8 meses al 1% simple mensual?
Expresado en meses: C0 = 6.000 · 0.01 · 8 = 480€

Expresado en años: C0 = 6.000 · 0.12 · 0.66666667 = 480€

NÚMEROS COMERCIALES:

En caso que una cuenta corriente bancaria, debido a los movimientos de dinero, tenga un saldo variable.

Cuando se da este suceso, usamos números comerciales, siendo estos el producto del capital (saldo) por la duración del periodo.

Ni = Ci · ni

Ci= Saldos de la cuenta

I = C1 · i · n1 + C2 · i · n2 +...+Cn · i · nn

Por tanto: I = i (N1 + N2`+ … + Nn)

INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO (i*):

El interés simple es anticipado (prepagable), y lo denominamos i*, cuando los intereses son prepagables (al principio del periodo).

La relación entre el tipo de interés simple anticipado (i*) y el tipo de interés al vencimiento (i) para operaciones a un año es:

(1-i*) · ( 1+i) = 1
Por tanto:
i* = i/(1+i)

i = i*/(1+i*)

CAPITALIZACIÓN COMPUESTA:

Las operaciones en capitalización compuesta se caracterizan porque los intereses, a medida que se generan, pasan a formar parte del capital inicial, por lo que se van acumulando, y producen más intereses en los siguiente periodos.

Por tanto Cn= C0 (1 + i) ^ n siendo (1+i)^n el factor de capitalización.

“n” e “i” siempre debe estar en años.

En caso de tener un tipo de interés variable la expresión sería:

Cn= C0 ·( 1 +i1) ·(1 + i2) ·(1 + i3 ) +..+(1·in)

TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA:

La definición es exactamente la misma que en capitalización simple, es decir, dos tantos expresados en distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o general el mismo montante.

En capitalización simple se comprobó que los tantos equivalentes cumplen

i= k · ik

Esta proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al ir ampliándose los tipos de interés, la cantidad se va haciendo más grande.

Este carácter acumulativo se debe compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE EL TIPO DE INTERÉS ANUAL (i) Y EL TIPO DE INTERÉS FRACCIONADO (ik)

Cn= C0 · (1+i)^n

Cn= C0 · (1+ik)^(nk)

K es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales en las que se divide el periodo de referencia que se tome (habitualmente el año).

C0· (1+i)^n = C0 · (1+ik)^(nk)

(1+i)^n = (1+ik)^(nk)

1+i = (1+ik)^k

Opción a: i = [(1+ik)^k] -1

Opción b: ik = [(1+i)^1/k] -1

TANTO NOMINAL:

El nominal jk es un tipo de interés anual proporcional el efectivo fraccionado ik, en capitalización compuesta.

Cuando nos den el valor en tanto nominal jk, debemos de pasarlo a efectivo

ik = Jk/k